वर्तुळांचे प्रमेय

प्रमेय: “बाह्य बिंदूतून वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिका समान असतात.”

     

     

गृहीत:  1]‘o’हे वर्तुळाचे मध्य आहे.  
       2]“P” ही वर्तुळा बाहेरील बिंदू आहे.
              3]PQ आणि PR या बाह्याबिंदुतून काढलेल्या स्पर्शिका आहेत.
साध्य: PQ =PR
रचना: OP,OQ आणि OR सांधा.(जोडा )
सिद्धता:  ∆ OPQ आणि ∆ OPR मध्ये
                  OQ = OR एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या
         OP = OP सामाईक बाजू
         ˂OQP = ˂ORP ----(स्पर्शबिंदुतून काढलेली त्रिज्या स्पर्शिकेला लंब असते) 
     ؞∆ OPQ ≅ ∆ OPR    कर्ण भुजा कसोटी 

         PQ =PR  ---------   CPCT                   

 

प्रमेय -2: "कोणत्याही वर्तुळाला स्पर्श बिंदुतून काढलेली त्रिज्या                              स्पर्शिकेला लंब असते.”

गृहीत: ‘O’ मध्य असलेल्या वर्तुळात OP ही त्रिज्या आहे.
           YPX ही Pबिंदूतून काढलेली स्पर्शीका आहे.
साध्य: OP⟘PQ
रचना: Q ही वर्तुळाबाहेरील बिन्दू आहे. OQ सांधा
सिद्धता: OQ > OP (Q  हा वर्तुळाबाहेरील बिंदू आहे.) जर ही           वर्तुळाआतील  बिंदू असेल तर ती YPX छेदींका असते पण YPX ही छेदीका नाही,स्पर्शीका आहे.
              XY या  रेषेवरील इतर बिंदूपेक्षा  O पासूनचे P चेअंतर कमी आहे.
             एका सरळ रेषेला त्याच्या बाह्य बिंदूतून काढलेल्या सर्व रेषेपैकीसर्वात लहान रेषा तिला लंब असते.          
             Pहा बिंदू सर्वात जवळील बिंदू आहे . OPहा सर्वात कमी अंतर आहे.

 ؞           OP⟘PQ